耦合振子的典型例子

耦合振子是從力學發展到理論物理的轉折，物理學家從此不再限於只能寫下單一質點運動的定律，而可找出由許多質點形成整個系統的運動法則。

（原載：《科學月刊》，2004年第35卷第4期）

DIY振動系統所需器材

·1.5號釣魚線（直徑略小於0.2mm）2m。直徑4.0mm，高4.0mm的圓柱狀釤鈷強磁3塊（可參考本刊第376期），沿中心軸方向充磁，中心軸處有一孔徑1.0mm的圓孔貫穿。

·小滑輪1個、載玻片4片。

·長約120cm的較粗木條若干。

·80×3cm2綠色珍珠板。

·直徑約1.0mm、長度約12.0mm之細電線3條。

·直徑約0.4mm之漆包線50m。

·軟鐵心3塊（可從小型馬達或小型變壓器中拆下來，截面積約4×10mm，長約5cm即可）。

·強力膠和AB膠。

·訊號產生器（大一普通物理實驗室必備，高中物理實驗室也常見）、功率放大器（一般音響用的放大器即可）、閃光計頻器（一種氙氣閃光燈，閃光頻率可調，在大一普通物理實驗室中非常普遍）。

將一條具有張力的輕質彈性弦兩端固定，串上若干等分此弦而具質量的質點，這樣的振動系統便是耦合振子(coupledharmonicoscillator)的典型例子，是力學中非常重要的課題。最早研究這種運動系統的，正是力學鼻祖——牛頓，但直到繼起的約翰和丹尼爾白努利父子(John&DanielBernoullis)才成功處理這個問題。1753年，丹尼爾白努利（白努利定律的作者）證明：這個耦合振子系統的運動，可以疊加其振動模式加以描述。而製作實際教具來演示這個系統的振動模式，一方面有助於駐波、波傳播、振動模式、共振等物理現象〔注〕的教學，另一方面也有助於理解耦合振子及Lagrangianfunction等較高深的力學理論，相關理論還可被用來研究晶格的振動。晶格振動理論的主要貢獻者louin甚至認為，白努利的研究是從力學發展到理論物理的轉折，科學家們自此不再限於只能寫下單一質點運動的定律，而開始企圖找出由許多質點形成整個系統的運動法則。

為了與一般教科書中簡化的例題一致起見，本實驗的設計只演示負載3個質點的弦，且限制其運動二維平面的橫向振動(transversevibration)。市面上類似的教具十分罕見，極少數幾種可以購得者，竟要用到笨重昂貴的氣墊軌，且引發其各種振動模式的馬達裝置亦嫌複雜，往往模糊了演示的主題。本實驗設計簡潔，主題明顯，花費少，自制容易，運動系統本身及其運動情形與教科書中理論探討的內容完全一致，演示效果極佳。

注：原文為繁體，本站釋出時未轉譯，但為方便讀者閱讀，直接將繁體轉為簡體。

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周鑑恆博士專欄

耦合振子是從力學發展到理論物理的轉折，物理學家從此不再限於只能寫下單一質點運動的定律，而可找出由許多質點形成整個系統的運動法則。

零件的加工與組裝

如圖一所示，將漆包線以一層漆包線、一層雙面膠的方式，分別整齊纏繞在兩塊軟鐵心上各約四百匝。將纏繞漆包線的軟鐵心相距1cm並列，再於一端附上第三塊軟鐵心，製成馬蹄形電磁鐵，最外層再以透明膠帶包覆（此工作需耐心，約需費時6小時）。接著如圖二所示，抽掉直徑約1mm、長12mm的細電線中之銅絲，再將中空的細電線穿過圓柱狀釤鈷強磁的中心軸孔，以此作為本教具的負載質點，故需備制3個。

圖一：馬蹄形電磁鐵。插圖（俯視圖）解釋馬蹄形電磁鐵和圓柱狀釤鈷磁鐵間交替出現的斥力和引力。

圖二：串在弦上的圓柱狀釤鈷強磁。

如圖三所示，以兩根間隔1cm的較粗木條製成長約120cm的平臺和必要的支架。而弦的一端固定在平臺一側，再穿過圓柱狀釤鈷強磁軸心的細電線小孔，將圓柱狀釤鈷強磁一一串起。平臺另一側安裝如圖四A所示之滑輪。將弦繞過滑輪，懸一配重（圓柱狀釤鈷強磁），以決定弦的張力。

圖三：平臺和支架（其他所有元件均已組裝完成，操作時電磁鐵應正對圓柱狀釤鈷磁鐵）。

如圖四所示，以4片載玻片製成恰容1.5號釣魚線光滑穿過的狹縫2組，分別置於靠近平臺左側的固定點和平臺右側的滑輪處，兩組狹縫相距79.6cm。弦靜止時，此2組狹縫絲毫不拉扯弦，使弦從固定點到滑輪完全呈直線。調整釤鈷強磁的間距，使之等分79.6cm的弦，再以強力膠加以固定，並於釤鈷強磁下緣下方4mm處鋪上綠色珍珠板。

圖四：(A)滑輪、配重和兩片載玻片組成的狹縫；(B)靠近圖三左側固定點的狹縫。

將馬蹄形電磁鐵水平對準外側的某個釤鈷強磁，以功率放大器放大訊號產生器的訊號功率，再接通電磁鐵，馬蹄形電磁鐵和釤鈷強磁之間即會交互發生牽引和排斥的力量。測量釤鈷強磁的質量和負載弦的張力，並概估其頻率以為參考。而後小心緩慢調整訊號產生器的訊號頻率，即可見第一振動模式（圖五）、第二振動模式（圖六）和第三振動模式（圖七）；若輔以頻率調至與振動模式相近的閃光計頻器來觀察，各個振動模式振動的情形將更為清楚。

圖五：第一振動模式：3個負載質點的運動方向一致。曝光時間較長的照片顯示，3個負載質點在二維平面上運動。

圖六：第二振動模式：中間負載質點靜止，兩側負載質點的運動方向相反。

圖七：第三振動模式：中間負載質點與兩側負載質點的運動方向相反。

耦合振子是從力學發展到理論物理的轉折，物理學家從此不再限於只能寫下單一質點運動的定律，而可找出由許多質點形成整個系統的運動法則。

設計特色

根據理論，若負載弦的張力為T（長1m的弦質量約0.04g，長79.6cm的弦質量則不足0.032g），負載質點間距為D，負載質點質量為M，負載質點數目為n，則其各振動模式的角頻率ωN＝2ω0sin[Nπ/(2n＋2)]；ω0＝[T/(DM)]1/2；N＝1,2,3,4,5…n。當n＝3（有3個負載質點）時，只有3種振動模式，頻率可由上述公式算出，振動的情形則如圖八：第一振動模式是3個負載質點同方向振動；第二振動模式是兩側負載質點反方向振動，而中間負載質點靜止；第三振動模式是兩側負載質點同向振動，而與中間負載質點的振動方向相反。本實驗中，配重（即張力T）為108.14g，負載質點間距為D＝19.9cm，負載質點質量為M＝0.40g，三種振動模式的頻率分別為88.3rad/sec、163.2rad/sec和213.2rad/sec；實際實驗結果分別為89.8rad/sec、161.1rad/sec和219.2rad/sec，誤差均在3％以內。

圖八：教科書中的繪圖，理論計算得出的三種振動模式。（葉敏華繪製）

而使用兩組狹縫限制弦兩端點的運動，也是本實驗設計的重點之一。因若舍狹縫而以小孔取代，則此負載弦的振動情形往往會與跳繩運動情形相似，徒增演示教學的困擾。此外，馬蹄形電磁鐵和延軸向充磁的釤鈷強磁之間的作用力無論相吸或相斥，因與相對較大的弦張力巧妙配合，即使振動激烈，都恰能合乎設計的要求。

因這項教具有下列優點：（一）捨棄任何須觸碰振動系統的複雜機械裝置，而隔空利用磁力操作，能既安靜又簡單的啟動各個振動模式，特別有助於突顯振動系統本身，不致有喧賓奪主的缺點；（二）振動系統本身簡潔明瞭，與一般教科書中所敘述的振動系統完全相同；（三）不將弦的兩端完全固定，卻以垂直的縫限制弦兩端的運動，使弦兩端可以在垂直方向無拘運動，但水平方向則完全被固定，使垂直方向振動的能量可以傳出耗損而衰減，並使垂直方向和水平方向振動模式的行為和頻率完全錯開獨立；而以符合水平振動模式的頻率變化的磁力驅動時，只有水平振動的模式會被啟動，故本教具可以近乎完美的演示出教科書中所述的水平二維振動。（本文圖片皆由作者提供）

注釋

本文討論的耦合振子又稱為負載弦(loadedstring)。假若負載弦所負載的質點增加到無窮多個，則負載弦的震動模式即為一般所謂的駐波(standingwave）。琴絃、管樂器中的空氣柱都屬於一維振動系統，鑼、鼓面等則是二維振動系統，吉他、小提琴的琴身都是三維振動系統。三維振動系統的振動模式非常複雜，常有許多不同振動模式的頻率非常接近。

拉小提琴時，琴絃的振動引起琴身共鳴（共振），一方面豐潤音色，一方面增加音量。一把價連城的小提琴其名貴之處在於音色醉人的琴身（共鳴箱）。音樂藝術顯然無法全以理性賞析，但其相關物理原理其實可由本文出發加以理解。

志謝：感謝源流基金會贊助。

責編：劉劍鋒