用θ調製玩出千變萬化小製作

θ調製是最簡單的空間濾波實驗，用一般光源即可進行，其色彩變化多端，可同時演示顏色合成、透鏡成像和空間濾波等原理，非常迷人。

（原載：《科學月刊》（臺灣），第三十八卷第五期）

透鏡成像是幾何光學最重要的主題之一，在各級學校物理教科書中，或多或少都會提到，大家應該也耳熟能詳。圖一是凸透鏡成像示意圖，圖中假設：物體上某點向四面八方發出的光，經透鏡折射後，都會在某個位置再聚集回到一點。如果在光聚回一點的地方放置塊螢幕，經透鏡折射後的光會在螢幕上形成一個亮點。因此物體上其他的點向四面八方放出的光，也都各自經過透鏡折射後聚整合一點，在螢幕上便可看到由該物體各對應位置的所有亮點而產生的實像。

圖一：幾何成像原理：從物體上某點放出的光經凸透鏡折射後，都會聚回實像上的某個點。

當然，物體上某一點向四面八方發出的光，經過透鏡折射，都會在某個位置再聚回一點，這件事情只是一個假設。事實上經過透鏡某些部分所折射的光，並無法在形成實像的位置精確地聚回一點，也因此才會造成所謂球差、慧差、像散、場曲等問題。而即使在物體上任何一點，都在實像上形成精確對應的點，透鏡的口徑有限，也因為繞射效應，使得構成實像的每個光點都成了模糊的點，因而有解析度的問題。

注：原文為繁體，本站釋出時未翻譯，但為方便讀者閱讀，直接將繁體轉為簡體。

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θ調製是最簡單的空間濾波實驗，用一般光源即可進行，其色彩變化多端，可同時演示顏色合成、透鏡成像和空間濾波等原理，非常迷人。

阿貝成像原理

公元1873年，阿貝（ErnstAbbe,1840~1905）提出一項理論，為上述的幾何成像提供了另外一個角度：二維平面的物體，在數學上可以用傅利葉級數展開，也就是說，將許多適當係數的二維傅利葉級數迭加起來，就可以合成該物體。

如果用同調光透射物體，根據繞射理論，迭加起來可以合成物體的各項二維傅利葉級數，就是在不同方向形成建設性干涉的平行光。凸透鏡的作用，就是把這些平行光再度迭加起來。雖然只用一片凸透鏡，再次迭加起來亦是近似平行光，不過在迭加起來後，還是形成與物體極相似的實像（圖二）。

圖二：阿貝成像原理：迭加起來可以合成物體的各項二維傅利葉級數，就是在不同方向形成建設性干涉的平行光（本圖僅畫出兩項）。凸透鏡的作用，就是把這些平行光再度迭加起來。

因為透鏡的口徑有限，偏向角度大的建設性平行光，也就是空間頻率高的二維傅利葉級數，往往不能經過透鏡而在像平面上進行迭加，因此成像會因缺少空間高頻的二維傅利葉級數而有些模糊。透鏡的口徑愈小，損失愈多空間高頻的二維傅利葉級數，物體的細節就不能在實像中呈現，解析度也愈差。這項結論與幾何成像原理殊途同歸。

如圖二所示，代表各項二維傅利葉級的平行光會在凸透鏡的焦平面上形成建設性干涉的亮斑，之後再分散形成近似平行光，在像平面上進行迭加，而形成實像。有些講究的實驗裝置會再加裝一片凸透鏡，稱為4F系統，把代表各項二維傅利葉級的平行光，完全還原成平行光，並重疊成像。

“像平面”就是各平行光完全重疊的平面，在像平面之前或之後，各平行光都無法完全重疊，因此影像模糊不清。從幾何光學的角度而言，就是失焦。

既然各項二維傅利葉級數的平行光，會在凸透鏡的焦平面上形成建設性干涉的亮斑，人們就可以從這裡動些手腳，遮掉或是加以修飾某些二維傅利葉級數，從而對最後的成像加以處理。這項技術稱為“空間濾波”，已有許多實際運用。

θ調製是最簡單的空間濾波實驗，用一般光源即可進行，其色彩變化多端，可同時演示顏色合成、透鏡成像和空間濾波等原理，非常迷人。

簡單有趣的θ調製

本文介紹的這項實驗，稱為“θ調製”，根據空間濾波的原理，利用一般光源即可進行。所需的材料如下：（一）投影機（一般光源亦可，但就須多費手腳架設安裝）；（二）兩三片光柵（600lines/mm，若是200~300lines/mm者更為方便，可使用大口徑的放大鏡）；（三）黑色色紙；（四）從報廢投影機拆下的Fresnel透鏡（因600lines/mm光柵分光角度較大，須搭配大口徑凸透鏡，但大口徑凸透鏡不易取得，才用Fresnel透鏡取代之）。

收起投影機鏡頭，開啟投影機燈源，如圖三A，如果物體是投影機面板上的投影片，面板上方用木架架妥的Fresnel透鏡，就像普通的凸透鏡，可使投影片的放大實像呈現在白色的天花板上（圖三B）。